физическая статистика для систем из большого числа невзаимодействующих частиц. Строго Б.с. подчиняются атомные и молекулярные идеальные газы, т. е. газы, у которых потенциальная энергия взаимодействия молекул считается равной нулю. Реально к таким системам относятся разрежённые газы, молекулы которых слабо взаимодействуют друг с другом.

При большом числе частиц в системе невозможно детально описать поведение каждой частицы. Однако общие черты поведения системы в целом являются усреднённым отражением движения отдельных частиц. Частицы распределяются по возможным для них состояниям - их координаты r и импульсы р принимают определённые значения. Математически это описывается функцией распределения, характеризующей вероятность пребывания частицы в данном состоянии.

Для идеального газа молекул, находящихся в поле внешних сил, функция распределения Больцмана имеет вид:

где р²/2m - кинетическая энергия молекулы массы m, U (r) - её потенциальная энергия во внешнем поле, k - Больцмана постоянная, Т - абсолютная температура газа; постоянная А определяется из условия, что суммарное число частиц, распределённых по всем возможным состояниям, равно полному числу частиц в системе (условие нормировки). Так как величина kT характеризует среднюю энергию теплового движения молекулы, то в Б. с. распределение частиц по состояниям определяется отношением полной энергии частицы (кинетическая плюс потенциальная) к энергии её теплового движения.

Функция распределения (1) содержит два сомножителя: ехр (-р²/2mкТ) и exp (-U (r)/kT). Первый из них определяет распределение молекул по импульсам (или скоростям), т. е. является Максвелла распределением, а второй - распределение по координатам в поле внешних сил. Поэтому иногда только вторую зависимость называют распределением Больцмана, а формулу (1) называют распределением Максвелла - Больцмана.

С помощью функции распределения Больцмана легко получить формулу изменения концентрации молекул воздуха (независимо от их импульса) с изменением высоты над земной поверхностью, а следовательно, и барометрическую формулу (См. Барометрическая формула), определяющую зависимость давления воздуха от высоты.

В квантовой статистике вместо функции распределения рассматривается среднее число частиц n̅_i, находящихся в данном квантовом состоянии с энергией E_i, и распределение Больцмана выглядит следующим образом:

Постоянная А находится из условия

где N - общее число частиц в системе, и равна А = (N/V)(h²/mkT)^3/2 (V - объём газа, h - Планка постоянная). Распределение (2) является предельным случаем квантовых статистик Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака, когда можно пренебречь квантовомеханическими эффектами, связанными с взаимным влиянием тождественных частиц (см. Тождественности принцип). Оно справедливо для систем, у которых все числа n̅_i малы по сравнению с 1; это означает, что частицы проводят почти всё время в сильно различающихся состояниях и потому специфическое влияние их друг на друга не проявляется.

Квантовая Б. с. справедлива при малых плотностях газа N/V и высоких температурах (при данной массе частиц). Фактически Б. с. применима для всех разреженных молекулярных газов, т.к. масса молекул велика и квантовое воздействие тождественных частиц друг на друга должно было бы проявиться лишь при столь высоких плотностях и низких температурах, которые соответствуют твёрдому (для гелия - жидкому) состоянию вещества (а в этом случае Б. с. вообще неприменима, т.к. взаимодействие молекул велико). К электронному газу в металлах и газу световых квантов - фотонов - Б. с. неприменима (см. Статистическая физика).

Лит. см. при ст. Статистическая физика.

В. П. Павлов.

см. Больцмана статистика.

уравнение для функции распределения f (ν, r, t) молекул газа по скоростям ν и координатам r (в зависимости от времени t), описывающее неравновесные процессы в газах малой плотности. Функция f определяет среднее число частиц со скоростями в малом интервале от ν до ν +Δν и координатами в малом интервале от r до r + Δr (см. Кинетическая теория газов). Если функция распределения зависит только от координаты х и составляющей скорости ν_x, К. у. Б. имеет

.

(m - масса частицы). Скорость изменения функции распределения со временем характеризуется частной производной , второй член в уравнений, пропорциональный частной производной функции распределения по координате, учитывает изменение f в результате перемещения частиц в пространстве; третий член определяет изменение функции распределения, обусловленное действием внешних сил F. Стоящий в правой части уравнения член, характеризующий скорость изменения функции распределения за счёт столкновений частиц, зависит от f и характера сил взаимодействия между частицами и равен

Здесь f, f₁ и f', f'₁ - функции распределения молекул до столкновения и после столкновения соответственно, ν, ν₁ - скорости молекул до столкновения, dσ=σdΩ - дифференциальное эффективное сечение рассеяния в телесный угол dΩ (в лабораторной системе координат), зависящее от закона взаимодействия молекул; для модели молекул в виде жёстких упругих сфер (радиуса R) σ =4R²cosϑ, где ϑ - угол между относительной скоростью - ν ₁-ν сталкивающихся молекул и линией, соединяющей их центры. К. у. Б. было выведено Л. Больцманом в 1872.

Различные обобщения К. у. Б. описывают поведение электронного газа в металлах, Фононов в кристаллической решётке и т.д. (однако чаще эти уравнения называют просто кинетическими уравнениями, или уравнениями переноса). См. Кинетика физическая.

Г. Я. Мякишев

статистика населения, область статистики, занимающаяся приложением статистических методов к сбору, обработке, изложению и анализу данных, характеризующих численность, состав, размещение и движение населения той или иной страны, территории или отдельных его групп. Под Д. с. понимают также совокупность числовых данных о населении, а иногда и область практической деятельности по сбору и обработке этих данных. Теоретической основой советской Д. с. является марксистско-ленинская Демография. Методы, разрабатываемые Д. с., основываются на положениях теории статистики. Д. с. является одним из важных орудий демографического анализа, а накапливаемые ею сведения служат фактической основой многих социально-экономических исследований населения. Д. с. разрабатывает методы сбора данных о населении, текущей и перспективной оценки его численности и состава, методы измерения, сравнения интенсивности и изучения факторов демографических процессов (рождаемости, смертности, брачности, распада браков и др.). Исторически к ним примыкают другие, не статистические методы демографии, в частности построение математических моделей населения (стационарного, стабильного и др.), анализ функций воспроизводства населения, представляемых в виде демографических таблиц (плодовитости, смертности, брачности), разработка общих характеристик режима воспроизводства населения, а также моделей, имитирующих демографические процессы.

Анализ закономерностей развития населения предполагает измерение интенсивности демографических процессов путём вычисления коэффициентов, выражающих частоту тех или иных демографических событий (рождений, смертей, браков, разводов) в населении или его группах, или вероятностей наступления этих событий. Поскольку интенсивность этих событий зависит от возраста, особенно важное значение имеют показатели для отдельных возрастов. Набор таких показателей, вычисленных для совокупности сверстников за разные годы их жизни, характеризует воспроизводство реального поколения. На практике чаще пользуются возрастными показателями для условного или гипотетического поколения, которые характеризуют интенсивность демографических процессов в один и тот же период, но относятся к людям разных поколений. Самостоятельное значение имеют показатели для отдельных групп возрастов - детских, трудоспособных, детородных. Важны характеристики процесса образования и распада семей.

Источником данных Д. с. служит учёт населения. По традиции различают учёт состояния и учёт движения населения. Сведения о состоянии населения, т. е. его численности, размещении и распределении по социальным группам, полу, возрасту, образованию, национальности, занятиям и т.д., получают при переписях населения (См. Переписи населения), проводимых на определённый момент, централизованно, по единой программе, которые дают как бы моментальную фотографию населения. Сведения о естественном движении населения - об изменении его численности и состава вследствие рождений и смертей (а также о браках и разводах) - даёт текущий учёт этих событий, основанный на регистрации актов гражданского состояния. Механическое движение населения, или миграция, учитывается при переписях, либо путём регистрации перемены места жительства. В некоторых странах ведутся постоянные списки или так называемые регистры населения. В СССР одной из форм их являются похозяйственные книги сельсоветского учёта. Сведения о населении и демографических процессах получают также из регулярных или эпизодических выборочных обследований, особенно важных в странах, где учёт населения не налажен. Выборочные обследования по так называемому анамнестическому методу, т. е. путём опроса о событиях в прошлом, позволяют получить показатели для реального поколения. Материалы этих источников дают возможность получать оценки численности и возрастно-полового состава населения между переписями, а также сведения, необходимые для анализа демографических процессов в территориальном разрезе.

Современная система информации о населении складывается со 2-й половины 19 в. и налажена лишь в экономически развитых странах. Для современного этапа развития Д. с. характерно расширение арсенала методов сбора и анализа информации, привлечение математики и социологии, широкое применение ЭВМ при обработке данных. В СССР, как и в большинстве стран мира, данные Д. с. собираются и обрабатываются в основном органами государственной статистики. Функции государственной статистической службы включают также перспективные исчисления населения, определение текущих оценок численности и возрастно-полового состава населения, построение демографических таблиц и элементы демографического анализа. Данные Д. с. публикуются в специальных журналах, статистических сборниках, демографических ежегодниках, выпускаемых во многих странах мира.

Лит.: Маркс К., Капитал, т. 1, Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 23; Ленин В. И., Развитие капитализма в России, Полн. собр. соч., 5 изд., т. 3; его же, Статистика и социология, там же, т. 30; Гозулов А. И., Переписи населения СССР и капиталистических стран, М. 1936; Боярский А. Я., Курс демографической статистики, М., 1945; Новосельский С. А., Вопросы демографической и санитарной статистики, М., 1958; Птуха М. В., Очерки по статистике населения, М., 1960; Население мира. Справочник, под общей ред. Б. Ц. Урланиса, [М., 1965]; Пресса P., Народонаселение и его изучение, пер. с франц., М., 1966; Курс демографии, под общей ред. А. Я. Боярского, М., 1967; Корчак-Чепурковский Ю. А., Избранные демографические исследования, М.,1970; Паевский В. В., Вопросы демографической и медицинской статистики. [Избр. произв., под ред. А. М. Меркова], М., 1970; United Nations. Statistical Office. Demographic yearbook, N. Y., 1958 -.

А. Г. Волков.

см. Статистика демографическая.

см. Демографическая статистика.